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Frecce e aquiloni nel cielo della matematica

Una animazione di 16 minuti sulla celebre tassellazione di Penrose

Alessandro Musesti (musesti@dmf.unicatt.it)

Maurizio Paolini (paolini@dmf.unicatt.it)

Può sembrare strano, ma la matematica studia anche la disposizione delle piastrelle su un pavimento! Se il pavimento è un piano infinito, si parla di tassellazione del piano. Quindi una tassellazione è un modo per ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.

Per le tassellature periodiche esiste una regione che si ripete uguale a se stessa per traslazioni. I matematici hanno dimostrato che esistono esattamente 17 diversi tipi di tassellature periodiche del piano (famosissime sono le tassellature che ricoprono le pareti dell'Alhambra, a Granada: vi si trovano esempi di tutte le 17 strutture esistenti).

La tassellazione di Penrose è invece un modo non periodico per riempire il piano, quindi non esiste una regione che si ripete sempre identica a se stessa. In un certo senso, si potrebbe dire che la tassellazione di Penrose è molto varia, non si ripete mai. Per costruirla, si utilizzano due forme: frecce (piastrelle colorate) e aquiloni (piastrelle chiare). La cosa affascinante è che la tassellazione di Penrose non solo non è periodica, ma non c'è verso di disporre i due tasselli in modo periodico: come pezzi di un puzzle, il modo di incastrare tra loro le frecce e gli aquiloni di Penrose porta ad avere una tassellazione non periodica del piano.

Nel cortometraggio (di circa 15 minuti) si mostra come è fatta la tassellazione di Penrose e vengono evidenziate alcune sue proprietà.

Cosa trovate sul dvd...

Si tratta di un DVD-VIDEO, quindi utilizzabile su un qualunque lettore DVD; un menù permette di scegliere la lingua tra le tre disponibili, e di visualizzare alcune rapide informazioni. La cartella EXTRA del DVD, utilizzabile se il DVD viene letto da un computer, contiene un po' di materiale aggiuntivo, in particolare vi si trova l'animazione alla risoluzione originale nelle tre lingue supportate.

Due parole sulla colonna sonora

Nelle prime versioni dell'animazione era stato scelto un brano di Čajkovskij (Variazioni su un tema rococo). L'effetto non era affatto malvagio, ma si è subito posto un insormontabile problema legato ai diritti d'autore. È un vero peccato che in massima parte l'enorme patrimonio artistico prodotto dall'umanità non sia utilizzabile in altre opere d'ingegno se non dopo faticose (e spesso infruttuose) ricerche di fantomatici detentori dei diritti.
Fortunatamente esistono oggi molti autori che per scelta decidono di rendere disponibili le loro opere senza vincoli.

Il sito web www.jamendo.com raccoglie una grande quantità di opere musicali pubblicate con una licenza di tipo aperto, che ne permettono liberamente l'utilizzo (viene principalmente utilizzata la licenza Creative Commons, la stessa scelta fatta per questo DVD).

È su www.jamendo.com che abbiamo trovato l'album Ambient Symphony di zero-project da cui sono stati tratti i brani della attuale colonna sonora.

Cosa potete fare con il DVD?

Tutto quello che volete! Infatti la licenza che abbiamo scelto per quest'opera è la Creative Commons. Essa permette all'utilizzatore di condividere, studiare, adattare l'opera a piacimento, a patto che venga rispettata l'attribuzione originale e che se ne faccia un uso non commerciale. La condivisione non solo è permessa, è auspicata.

Gli autori

Maurizio Paolini e Alessandro Musesti sono docenti di Matematica presso il Dipartimento di Matematica e Fisica Niccolò Tartaglia dell'Università Cattolica del Sacro Cuore, sede di Brescia.

Sono raggiungibili agli indirizzi di posta elettronica: